Cotas Inferiores Y Superioressay

Pasos

Parte 1

Aprende los principios básicos

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    Entiende el concepto de cota superior o mayorante. Si un conjunto de números reales, denominado S, incluye un número A ∈ R tal que todo número del subconjunto S es menor o igual que A, entonces se dice que S está “acotado superiormente”. A es una cota superior o mayorante. Matemáticamente, esto se expresa así: ∀x∈S⇒x≤A. Si S no tiene una cota superior, se dice que “no está acotado superiormente”.
    • Si hay un elemento menor entre las cotas superiores que pertenece al conjunto S, entonces a este número se le denomina “cota superior mínima” o “supremo” y se denota supS.
    • Si un conjunto S tiene al menos una cota superior, entonces hay cotas superiores infinitas que son mayores que dicho número.
  2. 2

    Entiende el concepto de cota inferior o minorante. Si un conjunto de números reales, denominado S, incluye un número real B ∈ R tal que todo número del subconjunto S es mayor o igual que B, entonces se dice que S está “acotado inferiormente”. B es una cota inferior o minorante. Matemáticamente, esto se expresa así: ∀x∈S ⇒x≥B. Si S no tiene una cota inferior, se dice que “no está acotado inferiormente”.
    • Si hay un elemento mayor entre las cotas inferiores del conjunto S, entonces se denomina a este elemento “cota inferior máxima” o “ínfimo” del subconjunto y se denota infS.
    • Si un conjunto S tiene al menos una cota inferior, entonces hay cotas inferiores infinitas que son menores que dicho número.

Parte 2

Calcula cotas superiores e inferiores

  1. 1

    Revisa tu conjunto para saber si está acotado superiormente. Si para un conjunto de números reales, S, ∃A∈R tal que ∀x∈S ⇒x≤A, entonces se dice que A es una cota superior de S. En otras palabras, si hay un número real A tal que cualquier número seleccionado del conjunto de números es menor o igual que él, entonces el conjunto está efectivamente acotado superiormente.
    • Por ejemplo, digamos que tienes el siguiente conjunto de números reales, S: {1, -1/4, 1/9, 1/16 . . .}. En este ejemplo, hay un número real A que es igual a 1 y cualquier otro número del conjunto será menor o igual que él. Por lo tanto, el conjunto está acotado superiormente.
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    Revisa tu conjunto para saber si está acotado inferiormente. Si para un conjunto de números reales, S, ∃B∈R tal que ∀x∈S⇒x≥B, entonces se dice que B es una cota inferior de S. En otras palabras, si hay un número real B tal que cualquier número seleccionado del conjunto de número es mayor o igual que él, entonces el conjunto está efectivamente acotado inferiormente.
    • En el ejemplo anterior, hay un número real B que es igual a -1/4 y cualquier otro número del conjunto será mayor o igual que él. Por lo tanto, el conjunto está acotado inferiormente.
  3. 3

    Determina si tu conjunto tiene un supremo. Si hay un número menor entre las cotas superiores del conjunto, entonces este número es el supremo y se denota supS.
    • En el ejemplo anterior, cualquier número mayor que 1 sería una cota superior, pero 1 es la cota superior menor. Por lo tanto, 1 es el supremo: supS=1.
  4. 4

    Determina si tu conjunto tiene un ínfimo. Si hay un número mayor entre las cotas inferiores del conjunto, entonces este número es el ínfimo y se denota infS.
    • En el ejemplo anterior, cualquier número menor que -1/4 sería una cota inferior, pero -1/4 es la cota inferior mayor. Por lo tanto, -1/4 es el ínfimo: infS= -1/4.
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    Encuentra el elemento mayor de tu conjunto. Un número a es el elemento mayor de un conjunto S si a∈S⋀x∈S⇒x≤a. En otras palabras, si seleccionas un número del conjunto y cualquier otro número del conjunto con el que se le compara es menor o igual que él, entonces ese número es el elemento mayor del conjunto. También se le llama “elemento máximo”.
    • En el ejemplo anterior, efectivamente existe un número a que cumple esas condiciones. Ese número es 1 y, por lo tanto, el elemento máximo de tu conjunto es 1.
  6. 6

    Encuentra el elemento menor de tu conjunto. Un número b es el elemento menor de un conjunto S si b∈S⋀x∈S⇒x≥b. En otras palabras, si seleccionas un número del conjunto y cualquier otro número del conjunto con el que se le compara es mayor o igual que él, entonces ese número es el elemento menor del conjunto. También se le llama “elemento mínimo”.
    • En el ejemplo anterior, efectivamente existe un número b que cumple con estas condiciones. Ese número es -1/4 y, por lo tanto, el elemento mínimo de tu conjunto es -1/4.
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    Date cuenta de cuál es la cota superior y cuál la cota inferior de tu conjunto. El número mayor y el número menor de tu conjunto son la cota superior y la cota inferior, respectivamente.
    • En el ejemplo anterior, tienes un conjunto que está acotado tanto superior como inferiormente por 1 y -/4, respectivamente.

Consejos

  • Si el supremo y el ínfimo de un conjunto existen, son únicos. La existencia del supremo y del ínfimo de un conjunto no vacío acotado superior e inferiormente respectivamente está asegurada por el axioma de completitud en R. El axioma de completitud establece que cada conjunto no vacío que está acotado superiormente tiene un supremo y cada conjunto no vacío que está acotado inferiormente tiene un ínfimo.
  • Date cuenta de que el supremo y el ínfimo no necesariamente tienen que ser elementos de tu conjunto; esta es una razón por la cual necesitas hallar los elementos máximo y mínimo de tu conjunto.
  • Los elementos máximo y mínimo también se conocen como “extremos”.

9.- Observa que -2 es una cota inferior de esta sucesión y, por lo tanto, en la representación en el plano cartesiano los puntos de la sucesión estarán por encima de la recta y=-2.

10.- Comprueba que ocurre lo mismo para cualquier otra cota inferior k, los puntos de la sucesión estarán por encima de la recta y=k, es decir, para cualquier término n:

a

n

³

k

o bien

a

n

-

k

³

0

Si una sucesión tiene una cota inferior se dice que está acotada inferiormente.

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